garis lurus

GARIS LURUS

Dalam banyak hal garis lurus adalah paling sederhana dalam semua kurva. Dianggap bahwa semua pembaca memahami dengan baik mengenai konsep ini dengan melihat pada sebuah tali tegang dan mengamati sepanjang sisi sebuah penggaris. Dan mulai saat ini, kita menggunakan kata garis sebagai kata lain untuk garis lurus. Telah kita ketahui bahwa garis lurus mempunyai hubungan yang sangat erat dengan koordinat kartesius (yang telah dibahas pada makalah sebelumnya). Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius. Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan Gambar 3.3

Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar 3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.

CONTOH:

1.      Garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3) dapat digambar sebagai berikut.

A.    BILANGAN ARAH dan KOEFISIEN ARAH GARIS

            Untuk membahas lebih lanjut tentang koefisien arah garis, maka terlebih dahulu da baiknya kita membahas tentang bilangan. Dimana yang dimaksud dengan Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

            Suatu garis lurus mempunyai koefisien arah (slope) dan mempunyai empat bentuk persamaan (yang akan dibahas selanjutnya) .System koordinat dapat dipergunakan untuk mewakili  aangka geometri yang bersesuaian dengan suatu persamaan dengan dua variable, misalnya persamaan x dan y.

Suatu persamaan dengan bentuk

dimana, A,B dan C adalah konstanta dan salah satu atau keduanya dari A dan B bukan nol. Dikatakan persamaan linear dalam x dan y karena suatu persamaan seperti itu jika dinyatakan secara geometris merupakan suatau garis lurus.

            Koefisien arah atau kemiringan suatu garis lurus dapat juga disebut gradien, adapun penulisan bentuk umum dari persamaan garis yakni:  , dimana m dan c disebut koefisien yang merupakan  bilangan.

Pengertian Gradien

Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau gradien garis tersebut adalah ¹/₂.

Salah sesuatu cara yang mudah untuk membuat suatu grafik garis lurus adalah menentukan koordinat titik potong dengan sumbu-sumbunya. Titik potong dengan sumbu-sumbu adalah titik dimana garis tersebut memotong sumbu tegak maupun sumbu datar. Jadi titik potong sumbu y adalah titik yang ditentukan dengan menetapkan  dari persamaan garis, sama halnya dengan titik potong sumbu x dengan menetapkan  dari persamaan garis.

CONTOH:

Gambarkan garis 

Penyelesaian:

titik potong sumbu y

apabila

 

Titik potong (0 , 4)

titik potong sumbu x

aoabila y = 0

Titikk potong (5, 0)

Titik potong sumbu-sumbunya dapat digambarkan dan diperoleh satu garis yang ditarik dari kedua titik tersebut.

Sifat-Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.

a.     Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x

Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut sejajar dengan sumbu-x.

Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut. Untuk titik A(–1, 2) maka x₁ = –1, y₁ = 2.

Untuk titik B(3, 2) maka x₂ = 3, y₂ = 2.

 

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y

Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.

Untuk titik C(1, 3) maka x₁ = 1, y₁ = 3.

Untuk titik D(1, –1) maka x₂ = 1, y₂ = –1.

Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien Dua Garis yang Sejajar

Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut?

Perhatikan uraian berikut.

• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).

Untuk titik A(–2, 0) maka x₁ = –2, y₁ = 0.

 Untuk titik B(0, 2) maka x₂ = 0, y₂ = 2.

   

• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).

Untuk titik C(0, –1) maka x₁ = 0, y₁ = –1.

Untuk titik D(1, 0) maka x₂ = 1, y₂ = 0.

  

Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.

Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus

Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus dengan garis l.

Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.

• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).

Untuk titik C(3, 0) maka x₁ = 3, y₁ = 0.

Untuk titik D(0, 3) maka x₂ = 0, y₂ = 3.

 

• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).

Untuk titik A(–1, 0) maka x₁ = –1, y₁ = 0.

Untuk titik B(0, 1) maka x₂ = 0, y₂ = 1.

Hasil kali kedua gradien tersebut adalah

 m_AB × m_CD = 1 × –1 = –1

Uraian tersebut memperjelas hal berikut:

Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.

B.    BENTUK-BENTUK PERSAMAAN GARIS

Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Untuk lebih jelasnya, pelajari Contoh Soal.

Contoh Soal : Gambarlah garis dengan persamaan: x + y = 4, Jawab :  Langkah pertama adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.  y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0, 4),ÞMisalkan: x = 0 maka 0 + y = 4  y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3, 1).Þ                x = 3 maka 3 + y = 4 Kemudian, dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus seperti berikut.

 Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut.

Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).

Berikut bentuk-bentuk persamaan garis;

Ø  Persamaan Garis

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan memiliki gradien 2

Jawab :
 y = 2xÞ y = mx , maka y = (2)x

Ø  Persamaan Garis

Ø  Persamaan Garis

Ø  Persamaan Garis ,  jika diketahui gradien dan titik koordinat.

Contoh soal:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(3, 5) dan memiliki gradien –2.
Jawab :
Untuk titik P(3, 5) maka x₁ = 3, y₁ = 5.
Dengan menggunakan rumus umum, diperoleh persamaan garis:
 fi y – y₁ = m (x – x₁)
     y – 5 = –2 (x – 3)
     y – 5 = –2x + 6
           y = –2x + 6 + 5
           y = –2x + 11 atau 2x + y – 11 = 0

Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya. Coba kamu perhatikan uraian berikut :

•    y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.
a. A (3, 3) dan B (2, 1)

Jawab :
a. Untuk titik A (3, 3) maka x₁ = 3 dan y₁ = 3.
    Untuk titik B (2, 1) maka x₂ = 2 dan y₂ =1.
       Persamaan yang diperoleh:

   

    –1 (y – 3) = –2 (x – 3)
    –y + 3 = –2x + 6
    2x – y + 3 – 6 = 0
    2x – y – 3 = 0
   Jadi, persamaan garisnya adalah 2x – y – 3 = 0.

C.    JARAK TITIK TERHADAP GARIS

ü  Jarak titik dari garis adalah:

Dengan S =  jarak

ü  Jarak  ke  garis g dapat kita cari sebagai berikut:

·       Buat bidang W melalui P tegak lurus g

·       Cari titik Q, titik tembus g pada W

·       Garis PQ adalah suatu garis yang tegak lurus g dan melalui titik P sehingga panjang PQ adalah jarak titik P ke garis g.

DAFTAR BACAAN

J .Purcell , Edwin.1987. Kalkulus Dan Geometri Analitis jilid 1. Jakarta . Erlangga

Muis, Abdul.2004. Perang Siasat MATEMATIKA DASAR .Yogyakarta .kreasi wacana

Supranto.J. 2005. MATEMATIKA UNTUK EKONOMI & BISNIS. Bogor. Ghalia Indonesia

Weber ,Jean E. 1982. ANALISIS MATEMATIK Penerapan Bisnis Dan Ekonomi. Jakarta. Erlangga

http://www.matkita.com/pg_lurus.php

http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Persamaan_Garis_Lurus_8.1_(BAB_3)